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Memoria: I Congreso Interuniversitario de Matemática Educativa

 

Los números enteros, una propuesta didáctica

Daniel Caciá.

Introducción
Llama la atención que haya catedráticos que afirmen conceptos que pueden confundir al
aprendiente. Por ejemplo: en una expresión como 4 – 5x, ¿el signo “–“representa una
sustracción o indica que 5x es un número negativo? Hay docentes que dicen que es un número
negativo (menos cinco equis) cuando que, en realidad es un positivo. La expresión está
indicando que se resta un número (representado como cinco equis) de otro (cuatro). Pero
ambos números son enteros positivos.

¿Dónde está el problema? Al parecer, en la tendencia a “simplificar” los procedimientos
operatorios en detrimento de la comprensión de aquello. El dilema estaría entre detenerse a
comprender o mejor mecanizar para facilitar otras tareas como la factorización, la suma de
polinomios y otros. Es casi como decir: ¿es necesario pensar o no?

Es conveniente dilucidar lo anterior. Un camino para lograrlo es analizar propuestas didácticas
que lleven a entender, analizar, aplicar, relacionar. En una palabra: pensar.

Las operaciones aritméticas en sistema numérico de los enteros
¿Es 2 lo mismo que +2? ¿Se debe entender lo mismo cuando se opera 2 + 2 que (+2) + (+2)?

Si recordamos los diferentes sistemas o conjuntos numéricos tenemos a los Naturales, Enteros,
Reales (Racionales e Irracionales) e Irreales. Cada uno tiene sus usos y propiedades y, de
acuerdo con sus características, tendrá respuestas para determinadas operaciones. En el caso de
las preguntas planteadas, 2 + 2 tendrá su respuesta en los números Naturales; pero (+2) + (+2)
corresponde a los Enteros. En otras palabras, las expresiones no son equivalentes.

Un “2” puede representar la idea de elementos discretos (manzanas, personas, sillas), Un “+2”
implica una dirección, sentido y magnitud. No tendría sentido, por ejemplo, hablar de (+2)
manzanas, pero sí de (+2) kilómetros hacia el norte; mientras al primero le basta su magnitud o
valor numérico; el segundo implica un desplazamiento.

Una expresión como 2 + 2 en los Naturales puede significar juntar dos elementos discretos.
Pero (+2) + (+2) implica desplazamiento, lo cual sería mejor representarlo en forma vectorial.
Lo que se quiere decir es que hay un error conceptual cuando se dice “+2” es lo mismo que 2.
Si pensamos un número entero como representativo de un desplazamiento, resulta fácil
entender el resultado de operar (+5) + (- 8). Veamos algunas opciones para mostrar la
operación anterior.

 

GRAFICA01

 

Ejemplo permite acercarnos a dos elementos didácticos importantes relacionados con la
adición de enteros: comprender el porqué de un resultado y romper esquemas (como el hecho
de pensar que un desplazamiento siempre se inicia desde el punto cero). A lo anterior agregaría
la facilidad con que se podría relacionar la expresión (+5) + (- 8) = (-3) con una situación real
(ejemplo: En Quetzaltenango, a cierta hora, la temperatura está en -1ºC. En cierto momento
aumenta 5ºC y después vuelve a disminuir 8ºC. ¿Cuál es la temperatura en el último cambio?

Se insiste, pensando en vectores y desplazamientos, se podría entender mejor la adición y
sustracción de enteros. La condición es que no se confunda un número natural con un entero.

 

Cálculo del MCM y MCD: uso de bloques y regletas.

Andrés Marcial Ortiz Tzoc

1) Resumen
La enseñanza del mínimo común múltiplo y Máximo Común Divisor es fundamental
en el conjunto de los números fraccionarios al trabajar las operaciones de sumas y restas
heterogéneas. Desde la descomposición de los números compuestos en sus factores primos, se
debe enseñar con recursos manipulativos para que el estudiante se le facilite el aprendizaje.

          a) Los colores ayudan a distinguir números primos y compuestos.
          b) El tamaño de los materiales es útil para representar las distintas cantidades.
          c) Los bloques de Lego permiten representar de mejor forma el cálculo del mcm y MCD.

2) Introducción

          La siguiente propuesta de taller tiene como propósito facilitar el proceso del cálculo del
mínimo común múltiplo y máximo común divisor, que son contenidos secuenciales dado su
utilidad en la resolución de suma-resta de fracciones.

          Actualmente los docentes enseñan dichos contenidos a partir de la clasificación de los
números naturales en: subconjuntos de números compuestos y números primos. De ahí se
parte para descomponer, realizar las operaciones necesarias y escribir el resultado.

Es importante que los estudiantes clasifiquen estos subconjuntos y en este caso puede
demostrarse con regletas los números primos dado que estos recursos están diseñados de
distintos tamaños y esto es de mucha utilidad para estos propósitos.

          Sucede lo mismo con el máximo común divisor ya que se realiza el mismo
procedimiento en cuanto a la descomposición. Para esta propuesta se asigna un valor a los
diferentes colores de los bloques el cual será a criterio de cada participante. La idea
fundamental es que el estudiante mediante los bloques y regletas se le facilite los aprendizajes
de estos contenidos y se explicará el proceso a desarrollarse en las siguientes líneas.

          3) Propósitos y alcance
El propósito de realizar el presente taller es facilitar el aprendizaje de estos contenidos
al utilizar recursos que el estudiante puede interactuar al manipularlos ya que la práctica es
fundamental, en un artículo de la RELIME D’Amore y Godino (2007) definen “Praxeología
didáctica: Coincide con la praxeología matemática, pero la componente praxémica alude a las
tareas del profesor y de los alumnos, técnicas de estudio, etc.”

 

 

          Con base en lo anterior, se comprende que la enseñanza de ciertos contenidos deben
ser prácticos y esto conlleva a que el docente debe buscar materiales concretos para la
enseñanza, hacer que esas tareas ya no sean tediosas al dejarle que resuelvan un sinfín de
ejercicios ya sea dentro o fuera del aula. La práctica matemática debe ser algo motivante para el
estudiante por ende este taller busca contribuir al demostrar la enseñanza de la clasificación de
números primos con el uso de regletas. Muñoz (2010) indica que las regletas de Cuisenaire son
figuritas sólidas rectangulares de distintos tamaños con valores del uno al diez y tienen
múltiples usos para la enseñanza de distintos contenidos. Por lo tanto estos recursos permiten
clasificar los números primos respecto a los compuestos.

          En cuanto a los bloques permitirán formar números compuestos de acuerdo a los
valores que la persona a su criterio asigne a cada color, la ventaja de estos es que hay simples,
dobles y triples en sus distintos colores. Esto ayuda a que se pueda formar distintas cantidades
para luego calcular el mcm y MCD. Debido a los colores se puede demostrar con facilidad lo
común y no común que tiende a confundir a estudiantes. Con todo ello se pretende lograr la
facilitación de estos aprendizajes a estudiantes del nivel primario ya que según CNB debe
desarrollarse en estos grados, por lo cual irá dirigido a profesores que imparten primaria.

          4) Método:
Se procederá a explicar cada uno de los recursos y su utilidad, se trabajarán con grupos y se
asignará una cantidad de material para cada equipo, luego ejemplificar a los participantes como
se clasifican los números primos al utilizar las distintas regletas. Por ejemplo: se toma el cinco y
se verifica su divisibilidad comparando los valores menores a este y se observará que solo la
unidad y el mismo color se ajustan al mismo tamaño. Se procederá a dar una serie de ejercicios
para que los realicen en equipo con cierto tiempo.

Con los bloques de igual forma, se solicitará que en consenso asignen a cada color el número
primo que representará y lo anotarán en una tabla que irá con los recursos tangibles que se les
proporcione. Se ejemplifica como se puede calcular el mcm al extraer los colores comunes y no
comunes en su máximo tamaño y se hace un solo bloque de esta forma se harán los cálculos
del mcm.

En cuanto al MCD, es más fácil de comprobar debido a que los colores establecen los
números (repetidos) y se obtendrá el MCD en su menor cantidad de veces. La observación que
se da es que se calcule primero el MCD para facilitar la manipulación de los bloques y no los
confundan al final.

          5) Diseños Didácticos:
          Lo que se propone en el método son estrategias ya que al utilizar estos recursos se estimula
en el estudiante o en este caso participante herramientas que podrá aplicar en su quehacer
docente y se atiende al eslogan de la actividad el cual se refiere a compartir experiencias.

          6) Materiales para cada participante:
Para llevar a cabo el presente taller es necesario entregar o con anticipación pedir a los
estudiantes una bolsa que contenga lo siguiente:
           - Hoja de papel en blanco.
           -1 lápiz
          -15 unidades regletas de Cuisenaire desde 1cm hasta 10cm
           -25 bloques de lego de una unidad dividido en 5 colores.
           -5 bloques de lego doble (5 colores)
          - 3 bloques de lego triple (5 colores)

Nota: Los bloques de lego deben ser del mismo color en sus diferentes tamaños.

          7) Referencias.

Bolt, B. (1988). Actividades matemáticas. Barcelona: Labor.
DÁmore, B. y Godino, J. (2007. El enfoque ontosemiótico como un desarrollo de la teoría antropológica en
didáctica de la matemática: RELIME, 10(2).

Materiales:
- Regletas.
- Hojas
- Bloques

Figura 1. Bloque de Lego          Figura 2. Regletas de Cuisenaire

 

 

Construcción de los números enteros

José Tomás Cabrera y Cabrera

Resumen
El taller consiste en dar a conocer la formación de los números enteros, como clase de parejas
ordenadas de números naturales, dada por el producto cartesiano del conjunto de los números
naturales consigo mismo NxN, de la cual se forma un nuevo conjunto numérico llamados
Enteros y su clasificación como números enteros positivos, enteros nulos o cero y los enteros
negativos.

Introducción

Cuando se resuelven pequeñas ecuaciones como 9 + 𝑥 = 12, 𝑦 + 3 = 8, 𝑥, 𝑦 tienen
soluciones en el conjunto de los números naturales. Pero cuando se presentan ecuaciones
como 8 + 𝑥 = 2, 5 ∙ 𝑦 = 2, 𝑥, 𝑦 no tienen soluciones en el conjunto de los números
naturales. Es en este preciso momento donde es necesario construir un nuevo conjunto
numérico para darle solución a dichas ecuaciones Morales & Pinot (1990). De esta forma, el
estudiante obtendrá mayor conocimiento del origen de los números enteros y definirá al
número entero como “una clase de pareja ordenada de números naturales”, de esta forma,
entenderá que por medio de la suma de parejas ordenadas o producto de parejas ordenadas,
aduce que no es necesario o que no existe la ley de los signos.

Propósito y alcance

A través de esta propuesta, se pretende compartir la experiencia de la construcción de los
números enteros con docentes y estudiantes del nivel medio que puedan participar a la
actividad programada por la Maestría en Didáctica de la Matemática.

Método.

Para el desarrollo del taller se pretende aplicar el método integrador, de ahí que se proponen
las siguientes actividades:

Actividades de inicio:

          a) Desarrollo de un rompehielos para que los participantes se involucren en el ambiente
          del taller
          b) Se hará entrega de un laboratorio con ejercicios de sumas y multiplicaciones de
          números enteros

Actividades de desarrollo:

Para este momento se procede a construir los números enteros por medio del producto
cartesiano de NxN, para formar parejas ordenadas, luego se clasificará en tres bolsas donde
se establece la identificación de los números enteros positivos, números enteros negativos
y los números enteros nulos o ceros. Siguiente paso es clasificar nuevamente cada bolsa
colocándolas en cajita. Cada cajita se etiquetará con un representante canónico.

Para seguir con este paso se procederá con la suma y multiplicación de parejas ordenas
para establecer reglas de adición y multiplicación de enteros.

Actividades de cierre:

Se trabajarán en grupos de 8 personas máximo, para representar nuevas parejas de
números naturales y aplicar la propuesta de las reglas para sumar y multiplicar números
enteros.

Diseños didácticos

La propuesta sobre la construcción de los números enteros, surge por la falta de recursos
didácticos sobre este conjunto numérico y porque la mayoría de estudiantes inclusive
profesionales, no logran definir de una manera adecuada un número entero como una clase de
parejas ordenadas de números naturales; esto implica en gran parte una dificultad en otros
temas que relaciona a los enteros y el sentido que tienen (positivos, negativos y el cero) ya que
la propiedad de los enteros, es también la misma para los números reales.
Esta propuesta ha sido aplicada a estudiantes de Cuarto Bachillerato en Ciencias y Letras con
orientación en educación y computación en la Escuela Normal Bilingüe Intercultural de San
Juan Ostuncalco; se ha visto un gran cambio especialmente en la definición de un número
entero y la diferencia que hay entre un número natural y entero
Se propone también aplicar la Teoría Antropológica de lo didáctico, porque en este enfoque se
puede establecer la praxeología con sus cuatro momentos: tarea, técnica, tecnología y teoría.

Materiales
Materiales por parte del participante: 56 tarjetas de 9cm x 9cm, marcadores, masquin tape.

Bibliografía

Godino, J. D. (2004). Matemática para Maestros. Granada: GAMI, S. L.
Morales, B. R., & Pinot L., L. (1990). Cuaderno de matemática, II Conjunto numérico. Guatemala:
Piedra Santa

 

 

Disminución de factores y código numérico.

Ana Siguantay

Resumen
A través de grupos cooperativos, primeramente descubrirán el patrón oculto en unas fichas de
colores, a quienes se les ha asignado un número primo. Y por medio de preguntas y pistas se
darán cuenta, que el código, se encuentra al descomponer en sus factores primos a dichos
números o de multiplicar números primos que han encontrado.

Posteriormente, escogerán un número cualquiera y le restarán alguno de sus divisores. A tal
resultado, le obtienen nuevamente sus divisores, para restarle uno de ellos y así sucesivamente.
Pierde, si le corresponde el número 1. Para ganar deberán de buscar la estrategia.

La importancia de realizar dicho taller, reside en presentar estrategias de enseñanza para el
abordaje de números primos y divisores. Además promueve la socialización, el trabajo en
equipo y desarrolla la habilidad lógica. Este taller tiene fundamentos de la teoría de aprendizaje
por descubrimiento, siendo estas: enactiva, icónica y simbólica.

Propósito y alcance:
El propósito del taller es compartir actividades lúdicas sobre las temáticas antes mencionadas
para despertar la curiosidad y promover el desarrollo de la lógica en los estudiantes, a través de
descubrir patrones y establecer la estrategia de jugadas anticipadas.

El taller se dirige a personas con estudios de: Profesorado en matemática y física o profesorado
en enseñanza media. A maestros del curso de matemática, del nivel primario y básico.

Método.
Este taller, tiene como referente teórico la situación didáctica, donde la enseñanza es percibida
como la ayuda que se brinda al estudiante para que logre su aprendizaje matemático y el
aprendizaje se entiende como el desarrollo de capacidades para que el estudiante alcance la
competencia cuando interacciona con la actividad que le proporciona el medio. Según Nieto,
Viramontes y López (2009) estas actividades deben exigir la solución a una problemática dada.

Ahora bien, según Salinas (2010), cuando hay un patrón de interacción, entre el estudiante con
algún medio, en el cual se maneja algún tema de conocimiento, se nombra a eso una
situación. Al involucrarse el docente en este patrón de interacción, se llama, situación
didáctica. La cual, conlleva una situación de acción; donde debe aplicarse algún método
para resolver la situación planteada. Una situación de formulación, que incluye reconstruir,
descomponer y reconocer los conceptos. Seguidamente una situación de validación, cuando
se construyen y se organizan los conceptos. Finalmente al hacer una reflexión sobre los
procesos trabajados, se pasa a la situación de institucionalización. En la tabla 1, se muestra
la secuencia de actividades programadas para el taller, en base a las situaciones didácticas.

 

 

 

NUMERO 16