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Memoria: I Congreso Interuniversitario de Matemática Educativa

 

 

Clinómetros, instrumentos para la medición de alturas de forma práctica y

activa, para estudiantes del nivel medio.

Denis Elí Cumes Mendoza.

 

Resumen
          La resolución de triángulos dentro de las aulas se desarrolla de forma memorística y
secuencial a una serie de pasos establecidos por el docente. Lo cual conlleva a la mecanización
de conceptos matemáticos, que de alguna forma evita y limita la funcionalidad de los mismos
dentro de la cotidianidad del estudiante. Sin embargo, existe en el campo de la ingeniera,
instrumentos que pueden ser aprovechados en contextos escolares del nivel medio. En este
caso se profundizará en el uso del clinómetro, desde su construcción con elementos prácticos,
hasta su utilización en la medición de edificios, demostrando la funcionalidad de objetos
geométricos.

Introducción
          Lo fundamental en el desarrollo del taller es llevar a cabo la construcción del
clinómetro con materiales de cotidianidad dentro de una clase de matemática (transportador,
lapiceros, hilo, papel, entre otros.) con la intención de buscar la aplicabilidad de conceptos
matemáticos en situaciones prácticas. Así mismo, llevar a cabo ejemplos de su utilización, y el
análisis respectivo de los conceptos y principios que se ponen en juego para el desarrollo de
cálculo de alturas de: paredes, árboles, torres, cables, entre otros. Toda la actividad está
orientada a brindar herramientas didácticas a docentes del nivel medio (básico y diversificado) para
el abordaje específico de conceptos geométricos y trigonométricos: base, altura, ángulos,
razones trigonométricas, entre otros; buscando crear durante la construcción de las
herramientas un espacio de intercambio de ideas y experiencias entre los participantes de
forma activa y dinámica, permitiendo así conocer otras formas de abordaje y mejoramiento
con material concreto para estudiantes del ciclo básico.

          El desarrollo de temas de geometría y trigonometría dentro de las aulas del ciclo básico
se limitan en la mayoría de casos al uso memorístico de conceptos como: teorema de Pitágoras
y razones trigonométricas, utilizados únicamente en ejemplos de triángulos rectángulos
trazados en hojas del cuaderno, sin haber aprovechado recursos disponibles dentro del mismo
establecimiento, para la identificación de triángulos en espacios a escala mayor como lo son las
paredes y árboles.

          Contar con material concreto que permita experimentar y vivir la aplicabilidad de
conceptos matemáticos en lugares de convivencia diaria, permite al docente llevar al estudiante
a escenarios con mayor creatividad, donde podrán poner en práctica capacidades y habilidades
de trabajo en equipo, intercambio de ideas, socialización de soluciones y sobre todo el hecho

de compartir ideas que podrían simplificar labores rutinarias. Tomando como referencia la
idea de buscar escenarios para la experimentación de aplicación de conceptos, se busca en el
desarrollo del taller, que como grupo de docentes activos y personas interesadas en el abordaje
de la matemática, se pueda trabajar la construcción de clinómetros dentro del aula, para su
posterior replica con estudiantes del ciclo básico.

         Para llevar a cabo la construcción de dicho recurso, se buscará crear en un principio un
espacio de convivencia armónica y dinámica, donde se respete la opinión de los participantes y
se aproveche la experiencia de los mismos para reforzar la idea generadora; por medio de
comentarios, preguntas y demostraciones. Se toma como método guía, el enfoque de
socioepistemológico el cual permite llegar a momentos de aprendizaje basados en el trabajo en
equipo y la aplicación de conceptos matemáticos desde diferentes perspectivas, basados en las
prácticas sociales, en este caso, la medición de alturas con la utilización del clinómetro,
asignando roles distintos a cada integrante de grupo, como: diseño de clinómetro, medición de
longitudes, medidor de grados y registro de datos.

         Soto Quiñonez & Piña Robles, (2010, Pag. 2) citando a Brousseau dice que las
situaciones didácticas son “un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implicitamente
entre un grupo de alumnos, un cierto medio y un sistema educativo representado por el
profesor con la finalidad de lograr que los alumnos se apropien de un saber constituido”
resaltando tambien un factor fundamental que es el medio o situación problemática, que lejos
de designar una mera aplicación de saberes enseñados previamente, implica todo lo que actúa
sobre el alumno o sabre aquello en que recae la acción del alumno.

         El desarrollo del taller está basado en videos de página de YouTube de experiencias en
otros establecimientos con aplicación del mismo material, en contextos diferentes. Así mismo
replicando estas prácticas en el establecimiento básico INEB de San Andrés Semetabaj. El cual
ha brindado resultados y experiencias positivas en el momento de su aplicación debido al tipo
de actividad que se realiza y sobre todo la experimentación y verificación de resultados en el
mismo espacio de trabajo, mismo que demuestra la funcionalidad del recurso y las variantes
que se puedan vivir de acuerdo a los materiales y disponibilidad de los estudiantes.

 Recursos:
1 transportador.
1 lapicero o tubo de 10cms.
1 clavo.
1 pedazo de hilo de 30cms.
1 roldana o tornillo pesado.
1 metro.

 

 

Para la construcción del material se utilizará como referencia el recurso de la imagen 1
que permitirá contar con una guía sobre cómo utilizar los elementos que componen el
clinómetro.

Parte del proceso esperado con el

desarrollo del taller, es el análisis grupal, en
relación a la medida del ángulo de referencia
para el planteamiento del gráfico que
representa la situación problema. Esto basado
en las vivencias con estudiantes del nivel
básico, que en gran mayoría cuentan con
dificultad para establecer el ángulo de
referencia y los elementos de un triángulo
rectángulo, el cual es objeto de estudio en esta
ocasión.

También se busca con la utilización del clinómetro, el desarrollo grafico de lo vivido, donde se vea representado el
triángulo junto con los datos obtenidos para la resolución del mismo con la aplicación de razones
trigonométricas.

Con la intención de presentar herramientas prácticas al docente del nivel medio y
contar así con escenarios que puedan ser significativos para los estudiantes, se presenta el
clinómetro desde una perspectiva de uso escolar; en el cual pueda ser visible y funcional el
concepto de razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) así como el teorema de
Pitágoras, buscando la interacción de instrumentos prácticos, estudiantes y conocimientos
matemáticos, en el cual las practicas grupales sean de vital importancia.

Referencias Bibliográficas.

Soto Quiñonez, M., & Piña Robles, C. (2010). Las situaciones didácticas de formación
matemática o las competencias del saber. XIV congreso de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas.
Cantoral , R. (2014 ). El quehacer del matemático educativo: el pasaje del sujeto al entorno.
Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa , 5-15.

 

 

 

Enseñanza de los conceptos básicos de Trigonometría

a través de las fases de la Ingeniería didáctica

José Manuel Perez Mazariegos

 

Resumen
El taller se ejecuta siguiendo las fases de ingeniería didáctica, respecto a estudio de los
conceptos básicos de trigonometría, específicamente las funciones trigonométricas, seno,
coseno y tangente, para desarrollarlas a partir de la manipulación abstracta del círculo
trigonométrico y relacionarlo en la resolución de problemas trigonométricos.

Introducción: Contar con instrumentos didácticos que favorezcan el proceso aprendizaje y
enseñanza dentro de la práctica pedagógica, es uno de los ideales de casi la totalidad de los
docentes, y si este a su vez resulta útil y ajustado a las necesidades del contexto, resulta aún
más beneficioso. La intencionalidad final es brindar a profesionales del área, docentes
involucrados/interesados en la aplicación didáctica de la trigonometría básica con la aplicación
de las fases de la ingeniería didáctica. El taller expone una propuesta didáctica pertinente para
reestructurar los puentes cognitivos entre conocimiento y practicidad concreta de materiales.

Propósito y Alcance: En cuanto a los conceptos básico de trigonometría puede citarse la
definición tradicional del seno de un ángulo agudo, como la razón del cateto opuesto al ángulo
y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, posteriormente facilita al estudiante el uso de tablas
o de calculadoras científicas para determinar los valores de dichas razones.

El taller tiene como propósito romper con el paradigma de lo tradicional, durante la enseñanza básica de
funciones trigonométricas, aplicando para ello las fases de la ingeniería didáctica para que el docente pueda
apropiarse de recursos didácticos concretos y significativos que aportan innovaciones en el proceso de enseñanza.

La Noción de ingeniería Didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas a comienzos de los
años ochenta. (Artigue, 1995). Surge de la concepción basada en los conocimientos científicos
de un ingeniero, quién al momento de realizar un trabajo se ve obligado a trabajar con
objetivos más claros y valederos, para resolver situaciones que la ciencia pueda o no hacerse
cargo. Se fundamenta en cuatro etapas o proceso para su desarrollo, estos son: análisis
preliminar, concepción y análisis a priori, experimentación y análisis a posteriori.

Con este fundamento se plantea la aplicación del círculo unitario para establecer los valores
trigonométricos seno, coseno y tangente sin depender del proceso mecanicista de la
calculadora científica, es decir, tener la competencia de resolver problemas.

El nivel de estudio a quienes se dirige esta temática, son los docentes de matemática y física
que desarrollan sus actividades con la población adolescente del nivel medio, ciclo básico y
diversificado.

Método: Se aplicará un método constructivo deductivo, es decir, cada participante diseñará
modelos planos de círculos unitarios en hojas de papel, para hallar los valores de las funciones,
seno, coseno y tangente, así también responden las definiciones conocidas con base a las
figuras presentadas, lo que promueve la fase preliminar y concepción y análisis a priori de la
ingeniería didáctica. Posteriormente el facilitador organizará equipos para construir modelos
concretos mayor escala de círculos unitarios, manipulables para la identificación de los valores
seno, coseno y tangente. Los participantes interactuarán hallando los valores trigonométricos
relacionando los resultados prácticos con los resultados digitales de una calculadora,
desarrollando así la fase tres de experimentación de la ingeniería didáctica.

De esta forma la interacción con el círculo unitario en concreto, facilitará la comprensión de
las Funciones Trigonométricas para desarrollar la fase cuatro a posteriori de la ingeniería
didáctica.

Materiales

Individual: 3 hojas milimetradas, regla, compás, transportador.

En equipos: pliego de cartoncillo # 40, tijeras, transportador, regla T, adhesivos de colores,
soportes plásticos de globos, tachuelas, marcadores, lana.

 

 

Referencias.
Artigue, M., Douady, R., Moreno, L. y Gómez, P. (1995). Ingeniería didáctica en educación
matemática. Bogota. Grupo Editorial Iberoamérica. Recuperado de
https://www.researchgate.net/publication/277733635_Ingenieria_didactica_en_educacion_matematica

 

 

Uso de GeoGebra para la enseñanza y el aprendizaje de los elementos
básicos de la geometría plana dirigido a docentes de primero básico

Fredy René Vásquez Aguilar

Resumen

La enseñanza-aprendizaje de las figuras geométricas en nuestro medio durante años se ha
venido abordando de forma mecanizada y abstracta, el docente indica a los estudiantes el
nombre de los elementos básicos de la geometría sin mayores detalles. Poco o nada se hace
para explicar la construcción de dichos elementos de forma epsitemológica, este tipo de
enseñanza se convierte en estática y tediosa para el estudiante. Para ir dejando las prácticas
educativas de antaño en este taller se busca socializar el uso de la herramienta Geogebra para
innovar en el proceso de aprendizaje de los principios de la geometría plana.

Introducción

La geometría es una ciencia que forma parte de nuestro entorno y tiene aplicaciones en la vida
real, es por ello que en las instituciones educativas se imparte este campo del conocimiento
matemático, y que busca que los estudiantes desarrollen habilidades fundamentales para la
resolución de problemas de la vida cotidiana, mediante el análisis de la investigación, dibujo,
razonamiento, creación, procesamiento, interpretación y descripción de las distintas formas
existente en su entorno.

Actualmente la geometría se sigue enseñando por parte de los docentes de matemáticas de la
misma forma en que ellos la aprendieron, lo que conlleva a un aprendizaje desvinculado de la
realidad y el entorno; sin embargo, en los últimos años se han venido creando aplicaciones
tecnológicas que están contribuyendo a romper estas prácticas educativas monótonas, logrando
hacerlas interactivas para los estudiantes. Una de las herramientas más potentes para la
enseñanza de los conceptos matemáticos de geometría es la aplicación denominada GeoGebra;
permite abordar la enseñanza y aprendizaje de geometría de una forma dinámica e interactiva,
porque permite a los estudiantes visualizar contenidos matemáticos que son más complicados
de afrontar desde un dibujo estático. Así mismo, facilita la construcción de formas de manera
fácil, rápida y exacta. Propicia un análisis de las relaciones existentes entre las figuras
construidas y la transformación dinámica de los objetos que las componen.

Propósito y alcance

Este taller tiene como propósito incidir directamente en los docentes que imparten el curso de
matemática en primero básico, para que cuando desarrollen los conceptos matemáticos de

puntos, rectas, segmentos, perímetro y área de figuras geométricas regulares lo hagan de
manera explícita a sus estudiantes, sin dejar vacios de información.

Por lo anteriormente argumentado los docentes al finalizar el taller podrán desarrollar sus
clases utilizando los cuatro lenguajes de la matemática: verbal, numérico, gráfico y el
alfabético, propuestos por (Garcia Roa, Franco Ospina y Garzon, 2006) y (Alvarado, 2017). En
consecuencia los estudiantes también utilizarán estos lenguajes a la hora de evidenciar su
aprendizaje.

Método

La metodología que se desarrollará en este taller será: activa, participativa demostrativa,
vivencial, los participantes serán los que construirán su conocmiento a partir del andamiaje que
propiciará el facilitador. Para llevar un orden en el desarrollo del taller el mismo estará
estructurado en 3 fases.

Fase inicial o reflexiva: Bienvenida y presentación de las personas, actividad motivacional
Entrega de agenda, Socializaciòn de Expectativas o temores y Objetivos.

Fase Central. En esta fase se procederá a presentar los conpceptos matemáticos.

Elementos básicos (punto, recta, rayo, plano, segmento y ángulo) y las relaciones entre los
elementos de una de una figura y de las figuras entre sí, tal como lo establece el curriculum
nacional vigente para el grado de primero básico (DIGECADE, Dirección General de Gestión
de Calidad Educativa, 2008) utilizando la herramienta tecnológica GeoGebra. Adicionalmente
se propiciará la utilización de instrumentos geométricos para el dibujo de polígonos regulares
inscritos en una circunferencia, aplicación de fórmulas para la obtención de área y perímetro en
las figuras regulares (triangulo, cuadrado, pentágono y hexágono). Demostración de áreas
máximas en perímteros mínimos, la presentación de los conceptos matemáticos estará dirigida
por el facilitador mientras que el desarrollo de temático se propiciará la participación activa de
los participantes.

Fase final: Se procederá a elaborar las conclusiones del taller y a evaluar todas las acciones
desarrolladas durante el mismo, así como el compromiso de los asistentes a implementar estas
actividades a la hora de abordar estos temas en el área de matemática.

Diseños Didácticos
El diseño didáctico que se utilizará en este taller estará mediado por una situación de
aprendizaje y el uso de la tecnología, sutentatada en las dimensiones: didáctica, cognitiva y
epistemológica, que son las dimensiones que contempla la toería Socioepistemológica.
(Cantoral, 2013).

Esta situación fue implementada, socializada y validada con estudiantes de sexto grado de
primaria. La misma permitió que los estudiantes participaran activamente en la construcción de
su aprendizaje y con ello ampliar sus conocimientos, se les proporcionó todo el material en
físico para poder desempeñar sus actividades de manera eficiente. Los estudiantes adquirieron
destrezas para utilizar los insrumentos geométricos y mejoró considerablemente la percpeciòn
de recibir clases de matemáticas y la comprensión de los conceptos matemáticos, al conlcuir la
situación fue evidente la satisfacción de haber construido con sus propias manos de forma
técnica las distintas figuras geoemétricas generando una atmósfera positiva, término acuñado
por (Schunk, Pineda Ayala y Ortíz Salinas, 2012).

La variante que se agrega para esta ocasión es el uso del software libre GeoGebra para que
docentes y estudiantes estén interactuando en la construcción y utilización de los cuatro
lenguajes de la matemática. Esta es una aplicación muy versátil y permite dibujar, investigar,
razonar, crear, procesar e interpretar los conceptos matemáticos de manera interactiva.
Además se tiene la ventaja que esta herramienta tecnológica está disponible para
computadoras, tablets y teléfonos inteligentes y en nuestro medio la mayoría de docentes y
estudiantes dispone de por lo menos un dispositivo inteligente.

Los materiales que se utilizarán son los siguientes: Pizarra, Marcadores, Juego de geometría,
Compás, Hojas milimetradas, Lapiceros, Lápices, Sacapuntas, Borrador, Crayones, Fotocopias,
Celular, Tablet o computadora, tijeras, goma. figuras geométricas, cabe mencionar que a cada
participante se le proporcionará el mismo.

Referencias
Alvarado, C. (2017). Geometría a tu alrededor: GuíaDic Pirmaria 4. (Lara Galo, C. María, Ed.).
Guatemala: DECA.
Cantoral, Ricardo (2013). Teoría socioepistemológica de la matemática educativa. Estudios sobre
construcción social del conocimiento. 1a ed. Barcelona: Gedisa.
DIGECADE, Dirección General de Gestión de Calidad Educativa. (2008). Currículum Nacional
Base Ciclo Básico del Nivel Medio: MINEDUC, Ministerio de Educación.
Garcia Roa, M. A., Franco Ospina, F. A. y Garzon, D. (2006). Didactica de la geometria euclidiana:
Conceptos basicos para el desarrollo del pensamiento espacial. Didáctica. Bogotá: Cooperativa Editorial
Magisterio.
Schunk, D. H., Pineda Ayala, L. E. y Ortíz Salinas, M. E. (2012). Teorías del aprendizaje: Una
perspectiva educativa (Sexta edición). México: Pearson Educación.

 

 

 

Geometría euclidea: caso límite de la geometría hiperbólica

Tojil Ixbalanke Juárez Lima

 

1. RESUMEN

Este taller aborda la geometría euclidea como un caso particular de la geometría hiperbólica,
partiendo de los postulados de Euclides y examinando brevemente los primeros cuatro, dando
paso a un análisis más profundo del quinto postulado, proponiendo situaciones que relativicen
su valor de verdad. Estas distintas situaciones plantean un recorrer necesario por las
geometrías del taxi, elíptica y finalmente la hiperbólica, desde donde se retoman los postulados
de Euclides para reexaminarlos desde esta nueva óptica.

2. INTRODUCCIÓN

La geometría euclidea es tratada, enseñada, utilizada y concebida en el imaginario colectivo
como la geometría, la única que aparentemente existe como categoría científica, pero que no
necesariamente es la que aplican todos, desde dibujantes, artesanos, constructores, sastres o
conductores en la cotidianidad. Probablemente esto es así por la importancia del tratado en el
que es plasmada la geometría euclidea: Los Elementos, que cobra esta vigencia por ser la
fundadora de la geometría como disciplina científica, la dota de rigor e introduce el método
deductivo a la matemática (Hernández , 2014).

Es importante sin embargo, situar a la geometría euclidea respecto a las otras geometrías,
primero para visibilizar estas últimas, que en apariencia no existen porque generalmente no son
enseñadas o si quiera mencionadas en la escuela, segundo para ubicar todas aquellas prácticas
diarias que distintas artes, tareas y disciplinas exigen en el ámbito de la geometría y que no
tienen cabida en la geometría plana.

Para lograr este cometido es necesario conocer los postulados, historia y aplicaciones de otras
geometrías, sin que esto signifique restar importancia o tachar de atrasada a la geometría
euclidea que hoy sigue vigente incluso para aplicaciones computacionales (Gómez, 2010).

 

3. PROPÓSITO Y ALCANCE

Dirigido a profesores y estudiantes de matemáticas del ciclo básico quienes podrán conocer y
construir aspectos conceptuales como principios y postulados de distintas geometrías poco
tratadas dentro del salón de clase, pero que sin duda permiten describir fenómenos de diversas
naturalezas y por tanto se convierten en un recurso importante cuando se explica la realidad.
Además se exploran muchas de las aplicaciones que en la actualidad tienen las geometrías,
como por ejemplo software, diseño asistido por computadora, urbanismo y el arte, (Gómez,
2010) lo que permite dotar de un significado tangible a las matemáticas en un aula.
Las construcciones que se pretenden lograr no necesitan de cálculos complejos, ya que se parte
de actividades con material concreto que permiten realizar generalizaciones, y aun cuando sea
necesaria una referencia o presentación de alguna expresión o relación geométrica, no se
pretende realizar demostraciones matemáticas.

 

4. MÉTODO

El taller se divide en tres etapas y a su vez cada etapa en tres momentos, obedeciendo a la
teoría de las Situaciones Didácticas que procuran que los participantes pongan en juego sus
conocimientos para construir conceptos y objetos a partir de la interacción con un medio de
desequilibrio y contradicción, (Sadovsky, 2005).

Dichas actividades en general consisten en el trazo de dibujos de elementos o figuras
geométricas conocidas en distintas superficies y bajo distintas condiciones, en todo momento
del taller se plantean preguntas de manera oral, promoviendo el debate para procurar la
dirección y evaluación de las construcciones conceptuales.

 

 

SITUACIÓN DIDÁCTICA	CONCÉPTOS BÁSICOS UTILIZADOS
a. Etapa I: Geometría euclidea. i. Acción: trazo de elementos geométricos conocidos. ii. Formulación: generalizaciones a partir de los trazos anteriores. iii. Validación: interpretación de los postulados euclideos.	1. Geometría plana o euclidea 2. Obra “Los elementos” 3. Postulados de Euclides 4. Recta 5. Rectas paralelas 6. Ángulo recto 7. Cuadrilátero 8. Triángulo 9. Circulo 10. Geometría del “taxi” 11. Distancia de Minkowsky
a. Etapa II: Otras geometrías. i. Acción: trazo de elementos geométricos conocidos en distintas superficies. ii. Formulación: generalizaciones a partir de los trazos anteriores. iii. Validación: interpretación del quinto postulado euclideo.	1. Superficie 2. Geometría elíptica 3. Geometría esférica 4. Ecuador 5. Polos 6. Ecuador de polos 7. Triedro 8. Triángulo esférico 9. Meridianos 10. Paralelos 11. Circunferencia máxima
b. Etapa III: Geometría hiperbólica: situación límite. i. Acción: trazo de rectas en una superficie hiperbólica dada una situación límite. ii. Formulación: interpretación del quinto postulado euclideo. iii. Validación: Comparación de la geometría euclidea respecto a ésta situación límite	1. Tractiz 2. Pseudoesfera 3. Geodésicas 4. Asíntotas 5. Funciones hiperbólicas

 

 

12. MATERIALES
Para cada participante se necesitaría el siguiente material:
a. Una esfera de poliestireno expandido de 10cm de diámetro.
b. Regla plástica para hacer trazos.
c. Un marcador permanente.
d. Tres fotocopias de una cuadrícula que simulan las calles, avenidas y manzanas
de una ciudad.
e. Un globo.
f. Una palangana tipo campana de plástico.
g. Una fotocopia del modelo de Klein.

Bibliografía
Gómez, J. (2010). Cuando las rectas se vuelven curvas: Las geometías no euclideas. Villatuerta, Navarra,
          España: EDITEC. Recuperado el febrero de 2018
Hernández , L. (2014). Sobre los pincipios fundamentales de la geometría. La Rioja, España:
          Universidad de la Rioja, Servicio de publicaciones. Recuperado el abril de 2018, de
          file:///C:/Users/Usuario/Downloads/DialnetSobreLosPrincipiosFundamentalesDeLaGeometria-185114.pdf
Sadovsky, P. (2005). La teoría de situaciones didácticas: un marco para pensar y actuar la
         enseñanza de la matemática.

 

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