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Geometría euclidea: caso límite de la geometría hiperbólica

Tojil Ixbalanke Juárez Lima

 

1. RESUMEN

Este taller aborda la geometría euclidea como un caso particular de la geometría hiperbólica,
partiendo de los postulados de Euclides y examinando brevemente los primeros cuatro, dando
paso a un análisis más profundo del quinto postulado, proponiendo situaciones que relativicen
su valor de verdad. Estas distintas situaciones plantean un recorrer necesario por las
geometrías del taxi, elíptica y finalmente la hiperbólica, desde donde se retoman los postulados
de Euclides para reexaminarlos desde esta nueva óptica.

2. INTRODUCCIÓN

La geometría euclidea es tratada, enseñada, utilizada y concebida en el imaginario colectivo
como la geometría, la única que aparentemente existe como categoría científica, pero que no
necesariamente es la que aplican todos, desde dibujantes, artesanos, constructores, sastres o
conductores en la cotidianidad. Probablemente esto es así por la importancia del tratado en el
que es plasmada la geometría euclidea: Los Elementos, que cobra esta vigencia por ser la
fundadora de la geometría como disciplina científica, la dota de rigor e introduce el método
deductivo a la matemática (Hernández , 2014).

Es importante sin embargo, situar a la geometría euclidea respecto a las otras geometrías,
primero para visibilizar estas últimas, que en apariencia no existen porque generalmente no son
enseñadas o si quiera mencionadas en la escuela, segundo para ubicar todas aquellas prácticas
diarias que distintas artes, tareas y disciplinas exigen en el ámbito de la geometría y que no
tienen cabida en la geometría plana.

Para lograr este cometido es necesario conocer los postulados, historia y aplicaciones de otras
geometrías, sin que esto signifique restar importancia o tachar de atrasada a la geometría
euclidea que hoy sigue vigente incluso para aplicaciones computacionales (Gómez, 2010).

 

3. PROPÓSITO Y ALCANCE

Dirigido a profesores y estudiantes de matemáticas del ciclo básico quienes podrán conocer y
construir aspectos conceptuales como principios y postulados de distintas geometrías poco
tratadas dentro del salón de clase, pero que sin duda permiten describir fenómenos de diversas
naturalezas y por tanto se convierten en un recurso importante cuando se explica la realidad.
Además se exploran muchas de las aplicaciones que en la actualidad tienen las geometrías,
como por ejemplo software, diseño asistido por computadora, urbanismo y el arte, (Gómez,
2010) lo que permite dotar de un significado tangible a las matemáticas en un aula.
Las construcciones que se pretenden lograr no necesitan de cálculos complejos, ya que se parte
de actividades con material concreto que permiten realizar generalizaciones, y aun cuando sea
necesaria una referencia o presentación de alguna expresión o relación geométrica, no se
pretende realizar demostraciones matemáticas.

 

4. MÉTODO

El taller se divide en tres etapas y a su vez cada etapa en tres momentos, obedeciendo a la
teoría de las Situaciones Didácticas que procuran que los participantes pongan en juego sus
conocimientos para construir conceptos y objetos a partir de la interacción con un medio de
desequilibrio y contradicción, (Sadovsky, 2005).

Dichas actividades en general consisten en el trazo de dibujos de elementos o figuras
geométricas conocidas en distintas superficies y bajo distintas condiciones, en todo momento
del taller se plantean preguntas de manera oral, promoviendo el debate para procurar la
dirección y evaluación de las construcciones conceptuales.

 

 

SITUACIÓN DIDÁCTICA	CONCÉPTOS BÁSICOS UTILIZADOS
a. Etapa I: Geometría euclidea. i. Acción: trazo de elementos geométricos conocidos. ii. Formulación: generalizaciones a partir de los trazos anteriores. iii. Validación: interpretación de los postulados euclideos.	1. Geometría plana o euclidea 2. Obra “Los elementos” 3. Postulados de Euclides 4. Recta 5. Rectas paralelas 6. Ángulo recto 7. Cuadrilátero 8. Triángulo 9. Circulo 10. Geometría del “taxi” 11. Distancia de Minkowsky
a. Etapa II: Otras geometrías. i. Acción: trazo de elementos geométricos conocidos en distintas superficies. ii. Formulación: generalizaciones a partir de los trazos anteriores. iii. Validación: interpretación del quinto postulado euclideo.	1. Superficie 2. Geometría elíptica 3. Geometría esférica 4. Ecuador 5. Polos 6. Ecuador de polos 7. Triedro 8. Triángulo esférico 9. Meridianos 10. Paralelos 11. Circunferencia máxima
b. Etapa III: Geometría hiperbólica: situación límite. i. Acción: trazo de rectas en una superficie hiperbólica dada una situación límite. ii. Formulación: interpretación del quinto postulado euclideo. iii. Validación: Comparación de la geometría euclidea respecto a ésta situación límite	1. Tractiz 2. Pseudoesfera 3. Geodésicas 4. Asíntotas 5. Funciones hiperbólicas

 

 

12. MATERIALES
Para cada participante se necesitaría el siguiente material:
a. Una esfera de poliestireno expandido de 10cm de diámetro.
b. Regla plástica para hacer trazos.
c. Un marcador permanente.
d. Tres fotocopias de una cuadrícula que simulan las calles, avenidas y manzanas
de una ciudad.
e. Un globo.
f. Una palangana tipo campana de plástico.
g. Una fotocopia del modelo de Klein.

Bibliografía
Gómez, J. (2010). Cuando las rectas se vuelven curvas: Las geometías no euclideas. Villatuerta, Navarra,
          España: EDITEC. Recuperado el febrero de 2018
Hernández , L. (2014). Sobre los pincipios fundamentales de la geometría. La Rioja, España:
          Universidad de la Rioja, Servicio de publicaciones. Recuperado el abril de 2018, de
          file:///C:/Users/Usuario/Downloads/DialnetSobreLosPrincipiosFundamentalesDeLaGeometria-185114.pdf
Sadovsky, P. (2005). La teoría de situaciones didácticas: un marco para pensar y actuar la
         enseñanza de la matemática.